Post by ZorbasW jaki sposób podać przy jakich założeniach powyższa łączność iloczynu
wektorowego jest poprawna. Robiłem to łopatologicznie licząć macierze, ale
dochodze do układu trzech równań z dziewięcioma niewiadomymi. :-)
Wydaje mi się, że najlepiej posłużyć się zależnością,
którą można łatwo wyprowadzić z definicji "x":
(Ax(BxC))_i = (eps)_ikl A_k (BxC)_l =
= (eps)_ikl (eps)_lmn A_k B_m C_n =
{ \del_im \del_kn - \del_km \del_in}A_k B_m C_n =
B_i (A,C) - C_i (A,B)
(oczywiście stosuję konwencję Einsteina tzn sumowanie
po powtarzających się wskaźnikach).
Wykorzystując udowodniony powyżej wzór oraz antysymetrię
iloczynu wektorowego dostaję:
0 = Ax(BxC) + Cx(AxB) = B(A,C) - C(A,B) + A(B,C) - B(A,C) =
= A(B,C) - C(A,B)
Już jesteśmy w domu...należy rozważyć przypadki
(dla A,B,C niezerowych):
1. A i C są niewspółliniowe:
1.1. A,B,C są niewspółliniowe:
wtedy równanie jest spełnione <=> (B,C)=(A,B)=0
1.2. (B jest współliniowe z C) albo (A jest współliniowe z B),
wtedy równanie jest sprzeczne.
2. A i C są współliniowe, oraz B jest niewspółliniowe z A
=> A = yC:
2.1 (B,C) =/=0 , wtedy równość jest spełniona jeżeli:
A = ((A,B)/(B,C)) C
2.2 (B,C) = 0 wtedy równanie jest spełnione gdy (A,B)=0,
co sprowadza się do przypadku 1.1.
3. A,B,C są współliniowe , wtedy równanie spełnione jest
tożsamościowo - obie strony są równe zeru.
--
Marek
Nie wystarczy szeroko otwierać oczu [Hermann Weyl]