Delfino Delphis
2008-03-14 16:14:43 UTC
Ponieważ w FAQ grupy jest ten paradoks omówiony słownie, więc przyszło
mi do głowy, że powinien też być podparty jakimiś wyliczeniami dla
bardziej dociekliwych. Przeprowadziłem więc takie proste obliczenia. Czy
ktoś chętny mógłby je prześledzić? Jeśli okaże się, że są ok to możemy
zacząć molestować Jakuba W. żeby dodał to do FAQ ;)
Problem tyczki i stodoły
Układ stodoły:
|******************| stodoła
xs_1 xs_0 xs_2
|-----------| tyczka
xt_1 xt_0 xt_2
Układ tyczki:
|************| stodoła
xs_1' xs_0' xs_2'
|------------------| tyczka
xt_1' xt_0' xt_2'
Transformacja Lorentza:
x'=g(x-vt)
t'=g(t-vx/c^2)
x=g(x'+vt')
t=g(t'+vx'/c^2)
gdzie g=1/sqrt(1-v^2/c^2)
Definicja problemu:
Tyczka porusza się z relatywistyczną prędkością v względem stodoły.
W układzie stodoły tyczka jest krótka. W chwili t=0, gdy środek tyczki
pokrywa się ze środkiem stodoły uruchamiamy laserowe noże na końcach
stodoły. Nic się nie dzieję.
W układzie tyczki to stodoła jest krótsza. Czy w związku z tym noże
przetną tyczkę prowadząc do paradoksu?
Rozwiążemy problem ilościowo. Układ primowany to układ tyczki, układ bez
primów to układ stodoły.
Niech spoczynkowa długość tyczki = l (w układzie primowanym) i
spoczynkowa długość stodoły także równa się l
(w układzie nieprimowanym). Innymi słowy zapiszemy:
xs_2-xs_1=l
xt_2'-xt_1'=l
Ustalmy chwilę t=0 (w układzie stodoły) w momencie gdy środek tyczki
pokrywa się ze środkiem stodoły. Czyli
t_0=0 -> xt_0=xs_0
Załóżmy dodatkowo, że środek stodoły ma współrzędną iksową równą 0,
wtedy końce to odpowiednie -l/2 i l/2.
Dla wprawy obliczmy długość tyczki w układzie stodoły. Wystarczy
obliczyć np. wartość xt_2 w chwili t=0.
Znamy xt_2', które musi wynosić l/2 (w układzie tyczki). Transformujemy
więc to do układu stodoły:
xt_2=g(xt_2'+vt')=g(l/2+vg(t-vxt_2/c^2))=
Skorzystaliśmy tutaj ponownie z transformacji Lorentza podstawiając ją
pod t'. Teraz pod t podstawiamy 0 i otrzymamy:
=gl/2-v^2g^2xt_2/c^2
Wyłączając z tego xt_2 mamy:
xt_2(1+v^2g^2/c^2)=gl/2
xt_2=gl/(2*(1+v^2g^2/c^2))
Teraz już tylko trzeba rozpisać g^2 i po prostych arytmetycznych
przekształceniach otrzymamy:
xt_2=l/(2g)
Oczywiście ten sam rachunek można przeprowadzić dla x2_1 i przez
analogie otrzymamy x2_1=-l/(2g)
W efekcie długość tyczki w układzie stodoły to l/g, tak więc jest
krótsza (g>=1).
Oczywiście ten sam wynik otrzymamy dla stodoły, gdy spróbujemy obliczyć
jej długość w układzie tyczki. Pozostawiam ten
rachunek jako proste ćwiczenie.
Mamy już ogląd jak wygląda sytuacja w układzie stodoły. Tyczka o
długości l/g porusza się z relatywistyczną prędkością v i w momencie
w którym przyjęliśmy t=0 znajduje się w środku stodoły. Chcemy teraz
zbudować sobie obraz tej sytuacji w układzie tyczki, gdzie jak już wiemy
jej długość będzie równa l, za to stodoła będzie skrócona do l/g. Czy
laserowe noże uruchomione w chwili t=0 potną tyczkę?
Tak naprawdę jedyne co musimy zrobić to znaleźć momenty t' uruchomienia
noży w układzie tyczki, miejsca zadziałania tych noży (bez obliczeń
wiemy, że będzie to -l/(2g) i l/(2g), ale i tak to policzymy), oraz
miejsca końców tyczki w tych momentach.
No to liczymy.
Dla nożna znajdującego się w xs_1=-l/2:
t_1'=g(t-vxs_1/c^2)=g(0-vxs_1/c^2)=gvl/(2c^2)
Dla noża znajdującego się w xs_2=l/2 analogicznie:
t_2'=g(t-vx_s2/c^2)=g(0-vx_2/c^2)=-gvl/(2c^2)
I natychmiast mamy odpowiedź dlaczego w układzie tyczki nie zostanie ona
przecięta mimo, iż stodoła jest krótsza. Moment uruchomienia noży,
te dwa równoczesne zdarzenia nie są już równoczesne w układzie tyczki
(t_2'<0<t_1'). Oznacza to, że najpierw uruchamiany jest nóż drugi,
dopiero potem tyczka ustawia się dokładnie w środku stodoły, a na końcu
uruchamiany jest nóż pierwszy. W ten sposób tyczka przeżywa bez szwanku.
Dla pewności policzmy gdzie w układzie tyczki w określonych momentach
rzeczywiście znajdują się końce stodoły i końce tyczki. Weźmy np. lewy
koniec:
Tyczka:
Tu nie musimy nic transformować. Wiemy, że dla t'=0 xt_1'=-l/2.
Więc dla t'=gvl/(2c^2) później mamy (s=v*t):
xt_1'=-l/2+gv^2l/(2c^2)=l/2 (gv^2/c^2-1) = -l/2 (1-gv^2/c^2)
Stodoła:
Tu jest trudniej: musimy przetransformować t' do układu stodoły
(nie musimy, wiemy już, że lasery włączają się dla t=0), znaleźć
położenia jej końców (to też znamy xs_1=-l/2) i przetransformować to z
powrotem do układu tyczki:
xs_1'=g(xs_1-vt)=-gl/2
Bez wątpienia tak wyliczone xs_1' jest bardziej ujemne niż xt_1'
(sprawdź!), więc laser włączy się dawno po tym, gdy tyczka go minie.
Oczywiście zupełnie analogiczny wynik otrzymamy dla prawego końca,
zmienią się tylko znaki.
Tak więc rozwiązaliśmy 'paradoks' tyczek i stodoły ściśle przy użyciu
transformacji Lorentza.
mi do głowy, że powinien też być podparty jakimiś wyliczeniami dla
bardziej dociekliwych. Przeprowadziłem więc takie proste obliczenia. Czy
ktoś chętny mógłby je prześledzić? Jeśli okaże się, że są ok to możemy
zacząć molestować Jakuba W. żeby dodał to do FAQ ;)
Problem tyczki i stodoły
Układ stodoły:
|******************| stodoła
xs_1 xs_0 xs_2
|-----------| tyczka
xt_1 xt_0 xt_2
Układ tyczki:
|************| stodoła
xs_1' xs_0' xs_2'
|------------------| tyczka
xt_1' xt_0' xt_2'
Transformacja Lorentza:
x'=g(x-vt)
t'=g(t-vx/c^2)
x=g(x'+vt')
t=g(t'+vx'/c^2)
gdzie g=1/sqrt(1-v^2/c^2)
Definicja problemu:
Tyczka porusza się z relatywistyczną prędkością v względem stodoły.
W układzie stodoły tyczka jest krótka. W chwili t=0, gdy środek tyczki
pokrywa się ze środkiem stodoły uruchamiamy laserowe noże na końcach
stodoły. Nic się nie dzieję.
W układzie tyczki to stodoła jest krótsza. Czy w związku z tym noże
przetną tyczkę prowadząc do paradoksu?
Rozwiążemy problem ilościowo. Układ primowany to układ tyczki, układ bez
primów to układ stodoły.
Niech spoczynkowa długość tyczki = l (w układzie primowanym) i
spoczynkowa długość stodoły także równa się l
(w układzie nieprimowanym). Innymi słowy zapiszemy:
xs_2-xs_1=l
xt_2'-xt_1'=l
Ustalmy chwilę t=0 (w układzie stodoły) w momencie gdy środek tyczki
pokrywa się ze środkiem stodoły. Czyli
t_0=0 -> xt_0=xs_0
Załóżmy dodatkowo, że środek stodoły ma współrzędną iksową równą 0,
wtedy końce to odpowiednie -l/2 i l/2.
Dla wprawy obliczmy długość tyczki w układzie stodoły. Wystarczy
obliczyć np. wartość xt_2 w chwili t=0.
Znamy xt_2', które musi wynosić l/2 (w układzie tyczki). Transformujemy
więc to do układu stodoły:
xt_2=g(xt_2'+vt')=g(l/2+vg(t-vxt_2/c^2))=
Skorzystaliśmy tutaj ponownie z transformacji Lorentza podstawiając ją
pod t'. Teraz pod t podstawiamy 0 i otrzymamy:
=gl/2-v^2g^2xt_2/c^2
Wyłączając z tego xt_2 mamy:
xt_2(1+v^2g^2/c^2)=gl/2
xt_2=gl/(2*(1+v^2g^2/c^2))
Teraz już tylko trzeba rozpisać g^2 i po prostych arytmetycznych
przekształceniach otrzymamy:
xt_2=l/(2g)
Oczywiście ten sam rachunek można przeprowadzić dla x2_1 i przez
analogie otrzymamy x2_1=-l/(2g)
W efekcie długość tyczki w układzie stodoły to l/g, tak więc jest
krótsza (g>=1).
Oczywiście ten sam wynik otrzymamy dla stodoły, gdy spróbujemy obliczyć
jej długość w układzie tyczki. Pozostawiam ten
rachunek jako proste ćwiczenie.
Mamy już ogląd jak wygląda sytuacja w układzie stodoły. Tyczka o
długości l/g porusza się z relatywistyczną prędkością v i w momencie
w którym przyjęliśmy t=0 znajduje się w środku stodoły. Chcemy teraz
zbudować sobie obraz tej sytuacji w układzie tyczki, gdzie jak już wiemy
jej długość będzie równa l, za to stodoła będzie skrócona do l/g. Czy
laserowe noże uruchomione w chwili t=0 potną tyczkę?
Tak naprawdę jedyne co musimy zrobić to znaleźć momenty t' uruchomienia
noży w układzie tyczki, miejsca zadziałania tych noży (bez obliczeń
wiemy, że będzie to -l/(2g) i l/(2g), ale i tak to policzymy), oraz
miejsca końców tyczki w tych momentach.
No to liczymy.
Dla nożna znajdującego się w xs_1=-l/2:
t_1'=g(t-vxs_1/c^2)=g(0-vxs_1/c^2)=gvl/(2c^2)
Dla noża znajdującego się w xs_2=l/2 analogicznie:
t_2'=g(t-vx_s2/c^2)=g(0-vx_2/c^2)=-gvl/(2c^2)
I natychmiast mamy odpowiedź dlaczego w układzie tyczki nie zostanie ona
przecięta mimo, iż stodoła jest krótsza. Moment uruchomienia noży,
te dwa równoczesne zdarzenia nie są już równoczesne w układzie tyczki
(t_2'<0<t_1'). Oznacza to, że najpierw uruchamiany jest nóż drugi,
dopiero potem tyczka ustawia się dokładnie w środku stodoły, a na końcu
uruchamiany jest nóż pierwszy. W ten sposób tyczka przeżywa bez szwanku.
Dla pewności policzmy gdzie w układzie tyczki w określonych momentach
rzeczywiście znajdują się końce stodoły i końce tyczki. Weźmy np. lewy
koniec:
Tyczka:
Tu nie musimy nic transformować. Wiemy, że dla t'=0 xt_1'=-l/2.
Więc dla t'=gvl/(2c^2) później mamy (s=v*t):
xt_1'=-l/2+gv^2l/(2c^2)=l/2 (gv^2/c^2-1) = -l/2 (1-gv^2/c^2)
Stodoła:
Tu jest trudniej: musimy przetransformować t' do układu stodoły
(nie musimy, wiemy już, że lasery włączają się dla t=0), znaleźć
położenia jej końców (to też znamy xs_1=-l/2) i przetransformować to z
powrotem do układu tyczki:
xs_1'=g(xs_1-vt)=-gl/2
Bez wątpienia tak wyliczone xs_1' jest bardziej ujemne niż xt_1'
(sprawdź!), więc laser włączy się dawno po tym, gdy tyczka go minie.
Oczywiście zupełnie analogiczny wynik otrzymamy dla prawego końca,
zmienią się tylko znaki.
Tak więc rozwiązaliśmy 'paradoks' tyczek i stodoły ściśle przy użyciu
transformacji Lorentza.