Ergodyczność

[Andrzej Trzebiñski]

W podręczniku fizjologii Traczyka i Trzebskiego znalazł się następujący
fragment:
"Zastosowanie algorytmów dynamiki nieliniowej do modelowania procesów
fizjologicznych (...) w naukach medycznych jest trudne, ponieważ wymagają
one ergodyczności układu, nieosiągalnej w rzeczywistości".
Niedaleko znajduje się informacja: "Zasada ergotyczności oznacza, że układ
musi mieć dynamiczną stacjonarność" - nic to nie mówi. Taka "definicja",
znaleziona w pewnej encyklopedii (w encyklopedii PWN za to nie było nic)
niestety też niewiele wnosi: "ergodyczność (gr. érgon 'praca, dzieło') fiz.
właściwość przestrzeni powalająca na zastępowanie jej średniej czasowej
średnią fazową funkcji dowolnej wielkości fizycznej ją opisujacej".
Czym jest (ogólnie) ergotyczność?
W Internecie i w archiwum grup dyskusyjnych nie znalazłem prawie żadnych
informacji o ergotyczności (po polsku). Z tego, co się udało przeczytać,
wynika (w bardzo grubym przybliżeniu), że układ jest ergotyczny, kiedy
uśrednione stany jakiejś jego części są takie same jak uśrednione stany jego
dowolnej innej części.
Przykładowe znalezione cytaty: "ergodyczność procesu, tzn. że przestrzeń
\omega nie jest istotną sumą zbiorów, na których proces ewoluuje
rozłącznie"; "Ergodyczność sygnału losowego w praktyce oznacza natomiast
możliwość wyznaczenia wszystkich jego cech probabilistycznych przy pomocy
operatora uśredniania w wyniku analizy jednej realizacji syygnału
obserwowanego".
Aż wstyd być takim wielkim lamerem w dziedzinie fizyki i matematyki wyższej
jak ja.

[Andrzej Trzebiñski]

Post by Andrzej Trzebiñski
Czym jest (ogólnie) ergotyczność?

Oczywiście przepraszam za pojawiające się w niektórych miejscach pomyłki
'ergotyczny' i 'ergotyczność'.

[Dominik Kozaczko]

Czym jest (ogólnie) ergodyczność?

Proces jest ergodyczny jeśli jest jednocześnie:
a) nieredukowalny
b) aperiodyczny

Nieredukowalność oznacza, że każdy stan jest osiągalny z każdego innego
stanu.
Aperiodyczność oznacza, że największy wspólny dzielnik okresów stanów
wynosi jeden.

Pozdrawiam,
Dominik.

[PFG]

Post by Dominik Kozaczko

Czym jest (ogólnie) ergodyczność?

a) nieredukowalny
b) aperiodyczny
Nieredukowalność oznacza, że każdy stan jest osiągalny z każdego innego
stanu.
Aperiodyczność oznacza, że największy wspólny dzielnik okresów stanów
wynosi jeden.

No, toś mu wytłumaczył. Teraz człowiek już nie ma wątpliwości co to
jest ergodyczność. Nawiasem mówiąc, nie widzę sensu zakładania
nieokresowości. Powiadasz, że oscylator harmoniczny na powłoce energii
jest nieergodyczny?

Ergodyczność, jak zresztą większość pojęć z fizyki statystycznej
[:-(], jest nierozumiana nawet przez ludzi, ktorzy całkiem nieźle
znają inne działy fizyki. Przytaczanie ścisłych definicji niewiele
daje. Zatem, *nie siląc się na ścisłość i precyzję*, w ergodyczności
chodzi o to czy każdy stan jest dostępny z prawie każdego warunku
początkowego; "prawie każdy" nalezy tu rozumieć ściśle, wedle
teorii miary - zbiór zabroninych warunków początkowych ma
być miary zero. Pytamy się więc czy proces, startujacy
z losowego warunku początkowego, przejdzie po dostatecznie długim
czasie przez każdy możliwy stan. To jest tak zwana silna ergodyczność,
o której wiadomo, że w zasadzie nie zachodzi :-), jest więc ona
zastępowana słabą ergodycznością: Czy proces, startujący z losowego
warunku początkowego, przejdzie po dostatecznie długim czasie
dowolnie blisko kazdego mozliwego stanu. Praktycznym "zastosowaniem"
twierdzenia ergodycznego - a tak naprawdę motywacją dla jego
sformułowania - jest problem zastępowania średnich czasowych
przez średnie po zespołach statystycznych i vice versa: Zamiast
badać baaaardzo długą trajektorię układu, badamy baaaardzo
wiele kopii układu startujących z różnych warunków początkowych
i mówimy, że zachowanie układu uśrednionego po swoich replikach
będzie odtworzone przez średnie zachowanie pojedynczej
trajektorii, bądź też (co jest niekiedy wygodne - na przykład
w symulacjach numerycznych) zamiast badać mnogość
warunków początkowych, obserwujemy jedną baaaardzo długą
trajektorię i badamy jej czas przebywania w różnych obszarach
przestrzeni fazowej; tak numerycznie wyznacza się (próbuje
się wyznaczać) na przykład gęstości niezmiennicze układów
chaotycznych.

Związek pomiędzy ergodycznością a stacjonarnością, owszem,
zachodzi, ale wcale nie jest tak oczywisty, jakby to wynikało
z podręcznika Trzebskiego. Co więcej, proces stacjonarny
wcale nie musi być ergodyczny. W ogóle raczej nie uczyłbym się
fizyki z podręczników pisanych przez fizjologów. Odwrotna teza
też zresztą jest słuszna.

Ścisłą definicję ergodyczności można zneleźć na przykład tutaj
http://en.wikipedia.org/wiki/Ergodicity

[Andrzej Trzebiñski]

Post by PFG
Związek pomiędzy ergodycznością a stacjonarnością, owszem,
zachodzi, ale wcale nie jest tak oczywisty, jakby to wynikało
z podręcznika Trzebskiego. Co więcej, proces stacjonarny
wcale nie musi być ergodyczny. W ogóle raczej nie uczyłbym się
fizyki z podręczników pisanych przez fizjologów. Odwrotna teza
też zresztą jest słuszna.

Bardzo dziękuję za wszystkie odpowiedzi.
Z podręcznika fizjologii uczyłem się oczywiście fizjologii, a nie fizyki,
ale ponieważ pojawił się tam termin ergodyczność, chciałem się dowiedzieć,
na czym ona polega. Fizjologia bez fizyki już nie może istnieć. Zrozumienie
choćby podstaw fizyki wymaga rozumienia wielu elementów matematyki wyższej.
Ponieważ zwykły, prosty (?) człowiek ma ogromne trudności ze zrozumieniem
nawet elementarnych zagadnień z podręcznika podstaw matematyki wyższej,
wywołuje to frustrację i czarną rozpacz.

[PFG]

On Sat, 20 Aug 2005 13:46:24 +0200, "Andrzej Trzebiński"

Post by Andrzej Trzebiñski
Z podręcznika fizjologii uczyłem się oczywiście fizjologii, a nie fizyki,
ale ponieważ pojawił się tam termin ergodyczność, chciałem się dowiedzieć,
na czym ona polega. Fizjologia bez fizyki już nie może istnieć.

Och, wiem. Sam autor twojego podręcznika, prof. Trzebski, pojawia się
na konferencjach fizycznych :-)

P.s. Dlaczego ustawiłeś Followup-To na filozofię i w dodatku o tym
nie uprzedziłeś?

[Dominik Kozaczko]

Post by PFG

Post by Dominik Kozaczko
a) nieredukowalny
b) aperiodyczny

w ergodyczności
chodzi o to czy każdy stan jest dostępny z prawie każdego warunku
początkowego; (...)

Dziękuję za rozwinięcie.
Mnie osobiście ergodyczność była potrzebna przy pisaniu magisterki
(pisałem o PageRank jako zastosowaniu modelowania Markowa).

Chodziło mi dokładnie o to samo, choć Ty opisałeś to bardziej
dydaktycznie ;)

Pozdrawiam,
Dominik.

[myszek]

Post by PFG
To jest tak zwana silna ergodyczność,
o której wiadomo, że w zasadzie nie zachodzi :-), jest więc ona
zastępowana słabą ergodycznością: Czy proces, startujący z losowego
warunku początkowego, przejdzie po dostatecznie długim czasie
dowolnie blisko kazdego mozliwego stanu. Praktycznym "zastosowaniem"
twierdzenia ergodycznego - a tak naprawdę motywacją dla jego
sformułowania - jest problem zastępowania średnich czasowych
przez średnie po zespołach statystycznych i vice versa: Zamiast
badać baaaardzo długą trajektorię układu, badamy baaaardzo
wiele kopii układu startujących z różnych warunków początkowych
i mówimy, że zachowanie układu uśrednionego po swoich replikach
będzie odtworzone przez średnie zachowanie pojedynczej
trajektorii, bądź też (co jest niekiedy wygodne - na przykład
w symulacjach numerycznych) zamiast badać mnogość
warunków początkowych, obserwujemy jedną baaaardzo długą
trajektorię i badamy jej czas przebywania w różnych obszarach
przestrzeni fazowej; tak numerycznie wyznacza się (próbuje
się wyznaczać) na przykład gęstości niezmiennicze układów
chaotycznych.

No fajnie, a co z gestoscia prawdopodobienstwa?
Bo pojedyncza dluuuga trajektoria 'zasmarowuje' przestrzen
fazowa z gestoscia zalezna od ukladu i w ogolnosci niekoniecznie
stala (i a priori nieznana).
Z kolei biorac srednie po zespole postulujemy sobie a priori
jakis rozklad prawdopodobienstwa (zwykle o stalej gestosci
w przestrzeni fazowej).

Jak to sie dzieje ze srednie czasowe i po zespole sa w takim razie
rowne?
Owszem, w granicy bardzo duzych ukladow fluktuacje tych srednich
daza do zera. Jezeli wiec gestosc prawdopodobienstwa generowana
przez pojedyncza trajektorie jest dostatecznie przyzwoita funkcja,
srednie beda takie same jak przy zalozeniu stalej gestosci.
Jednak skad wlasciwie wiadomo, ze w takiej granicy gestosc
bedzie przyzwoita? Moze rownie dobrze dazyc do strasznej sieczki...

pozdrowienia

krzys

[Pawel F. Gora]

Post by myszek
No fajnie, a co z gestoscia prawdopodobienstwa?

O nia wlasnie chodzi :-)

Post by myszek
Bo pojedyncza dluuuga trajektoria 'zasmarowuje' przestrzen
fazowa z gestoscia zalezna od ukladu i w ogolnosci niekoniecznie
stala (i a priori nieznana).
Z kolei biorac srednie po zespole postulujemy sobie a priori
jakis rozklad prawdopodobienstwa (zwykle o stalej gestosci=20
w przestrzeni fazowej).

=20
Ej, o stalej gestosci tylko w zespole mikrokanonicznym. Dla ustalenia
uwagi rozwazmy taki zespol. Zakladamy tam, ze wszystkie stany mikroskopowe
o takiej samej energii sa rownoprawdopodobne. Puszczamy teraz symulacje
- albo, hipoteczynie, obserwujemy uklad rzeczywisty. Jezeli uklad jest
(slabo) ergodyczny, trajektoria po dostatecznie dlugim czasie przejdzie w
poblizu kazdego stanu i sredni czas przebywania we wszystkich obszarach
przestrzeni fazowej o takiej samej hiperoobjetosci bedzie taki sam. Jesli
uklad nie jest ergodyczny, czesc obszarow nie bedzie odwiedzana. Wyobraz
sobie uklad zachowujacy oprocz energii jakas inna calke ruchu, dajmy na to
(jakos tam zdefiniowana) parzystosc; wowczas czesc stanow nie bedzie
dostepna i uklad nie bedzie ergodyczny.

W ukladach bardziej matematycznych niz fizycznych (typu uklady dynamiczne,
chaos et consortes) z kolei chodzi o numeryczne odtworzenie gestosci
niezmienniczej z pojedynczej trajektorii, poza zbiorem miary zero.

Post by myszek
Jak to sie dzieje ze srednie czasowe i po zespole sa w takim razie=20
rowne?

Rownosc tych gestosci jest _trescia_ twierdzenia ergodycznego.
Natomiast scisle udowodnienie, ze twierdzenie ergodyczne dla jakiegos
ukladu zachodzi, bywa bardzo trudne.

Post by myszek
Owszem, w granicy bardzo duzych ukladow fluktuacje tych srednich=20
daza do zera.=20

Jesli uklad jest ergodyczny, rowniez w granicy bardzo dlugich czasow
fluktuacje roznych srednich powinny dazyc do zera.

-- =20
Pawe=B3 G=F3ra=09=09=09Three Laws of Thermodynamics:
Institute of Physics =09=091. You can't win.
Jagellonian University=09=092. You can't break even.
Cracow, Poland=09=09=093. You can't even quit the game.

[Kazimierz Kurz]

Post by Pawel F. Gora

Post by myszek
No fajnie, a co z gestoscia prawdopodobienstwa?

O nia wlasnie chodzi :-)

Post by myszek
Bo pojedyncza dluuuga trajektoria 'zasmarowuje' przestrzen
fazowa z gestoscia zalezna od ukladu i w ogolnosci niekoniecznie
stala (i a priori nieznana).
Z kolei biorac srednie po zespole postulujemy sobie a priori
jakis rozklad prawdopodobienstwa (zwykle o stalej gestosci=20
w przestrzeni fazowej).

=20
Ej, o stalej gestosci tylko w zespole mikrokanonicznym. Dla ustalenia
uwagi rozwazmy taki zespol. Zakladamy tam, ze wszystkie stany mikroskopowe
o takiej samej energii sa rownoprawdopodobne. Puszczamy teraz symulacje
- albo, hipoteczynie, obserwujemy uklad rzeczywisty. Jezeli uklad jest
(slabo) ergodyczny, trajektoria po dostatecznie dlugim czasie przejdzie w
poblizu kazdego stanu i sredni czas przebywania we wszystkich obszarach
przestrzeni fazowej o takiej samej hiperoobjetosci bedzie taki sam. Jesli
uklad nie jest ergodyczny, czesc obszarow nie bedzie odwiedzana. Wyobraz
sobie uklad zachowujacy oprocz energii jakas inna calke ruchu, dajmy na to
(jakos tam zdefiniowana) parzystosc; wowczas czesc stanow nie bedzie
dostepna i uklad nie bedzie ergodyczny.

Albo uklad bedzie mial spontanicznie zlamana symetrie: wowczas nawet bez zasad
zachowania czy wiezow czesc przestrzeni nei zostanei zapelnina stanami.
Kazek

[myszek]

Post by Pawel F. Gora
Ej, o stalej gestosci tylko w zespole mikrokanonicznym.

O ten mi chodzilo.

Post by Pawel F. Gora
Jezeli uklad jest
(slabo) ergodyczny, trajektoria po dostatecznie dlugim czasie przejdzie w
poblizu kazdego stanu i sredni czas przebywania we wszystkich obszarach
przestrzeni fazowej o takiej samej hiperoobjetosci bedzie taki sam.

A dlaczego to drugie?
Potrafie sobie wyobrazic uklad, ktory przejdzie w poblizu
kazdego stanu, ale sredni czas przebywania we wszystkich obszarach
przestrzeni fazowej nie bedzie taki sam. Dlaczego _musi_ byc?

pozdrowienia

krzys

[Kazimierz Kurz]

Post by myszek

Post by Pawel F. Gora
Ej, o stalej gestosci tylko w zespole mikrokanonicznym.

O ten mi chodzilo.

Post by Pawel F. Gora
Jezeli uklad jest
(slabo) ergodyczny, trajektoria po dostatecznie dlugim czasie przejdzie w
poblizu kazdego stanu i sredni czas przebywania we wszystkich obszarach
przestrzeni fazowej o takiej samej hiperoobjetosci bedzie taki sam.

A dlaczego to drugie?
Potrafie sobie wyobrazic uklad, ktory przejdzie w poblizu
kazdego stanu, ale sredni czas przebywania we wszystkich obszarach
przestrzeni fazowej nie bedzie taki sam. Dlaczego _musi_ byc?

Ergodycznosc jest bardzo mocnym warunkiem ktory rozklad mikrokanoniczny
spelnia zdaje sie tylko w granicy termodynamicznej bo jedynie wowczas czas
powrotu Poincare staje sie neiskonczony. Jesli jednak jest skonczona liczba
czastek / objetosc, to uklad hamiltonowski musi powrocic do punktu wyjscia
wobec czego w pewnym momencie pzrestaje byc ergodyczny.
Tak naprawde ejdnak konstruujac fizyke w takim ukladzie nie badamy
pojedynczego uk;adu i jego ewolucji czasowej.
Przeciez mierzymy dla ukladu makroskopowego 3-5 zmiennych ( czas, temperatura,
energia, entropia, cisneinei, objetosc, ladunek, namagnesowoanie, gestosc)
tymczasem uklad ktory ma N czastek ma 6N wymiarowa przestzren fazowa, wiec to
jest kolosalna roznica.
Dlatego nie mozna mowic ze istnieje prosta odpowiedniosc miedzy trajektoria a
temperatura. Zamiast tego wprowadza sie pojecie zespolu, obejmujace wiele
trajektorii rozniacych sie wszytskim czym moga sie roznic, ale majacych te
same parametry makroskopowe. W takim ukladzie ergodycznosc jest rownowazna
mieszanu ( wlasnei gestej trajektorii w przestrzeni fazowej) zas wlasnosc o
ktora pytasz wynika z jak sadze z hamiltonowskosci ukladu. Uklad taki
zachowuje objetosc w przezreni fazowej ( tw. Liouvilla) wiec spedzajac wiecej
czasu w jednym meijscu po prostu by sie nei miescil...
Ale mzoe sie myle.
Kazek

[PFG]

Post by myszek
Potrafie sobie wyobrazic uklad, ktory przejdzie w poblizu
kazdego stanu, ale sredni czas przebywania we wszystkich obszarach
przestrzeni fazowej nie bedzie taki sam. Dlaczego _musi_ byc?

To jest dobre pytanie i wcale nie wiem, czy częściowa odpowiedź,
którą wymyśliłem, jest poprawna. Na pewno odpowiedzi takiej udzielają
różne książki, ale nie mam teraz czasu szukac.

Pytamy się zatem czy jeśli układ jest ergodyczny, czyli jeśli
wszystkie stany są dostępne z dowolnego stanu początkowego
(tu zastrzeżenia jak poprzednio), to trajektoria musi po dostatecznie
długim czasie odtwarzać gęstość stanów.

To, że tak jest, jest oczywiste dla łańcucha Markowa: Równanie
Chapmana-Kołmogorowa głosi, że do odtworzenia prawdopodobieństwa
wystarcza rozkład początkowy (w naszym wypadku typu delta)
i prawdopodobienstwa przejść pomiędzy stanami ("dynamika").
Mamy teraz nasz układ dynamiczny lub fizyczny. Dzielimy przestrzeń
fazową na bardzo dużo małych, mierzalnych obszarów o takiej samej
hiperobjętości. Gdy trajektoria fazowa jest w którymś z tych obszarów,
możemy, znając dynamikę ("możemy" in principio, w praktyce to
będzie strasznie trudne), znaleźć prawdopodobieństwa przejścia
do wszystkich innych obszarów z naszego podziału. Założenie
o ergodyczności gwarantuje, że nie trafimy na żadną dziurę.
Jeżeli prawdopodobieństwa przejść nie zależą od historii, mamy
łańcuch Markowa, przechodzimy z rozmiarem podziału do zera i viola!
(Tu, nawiasem mówiąc, widać, że zawsze dostaniemy _przeliczalną_
siatkę, więc tylko słabą ergodyczność.)

Jeżeli dynamika jest newtonowska, albo ogólniej, "mechaniczna",
prawdopodobieństwa przejść _nie_ zależą od historii. To jednak nie
jest przypadek ogólny: Jeśli dynamika ma na przykład opóźnienia
czasowe, co, typowo, jest wynikiem rzutowania pełnej dyanmiki
na podprzestrzeń obserwowalnych stopni swobody, oczywiście
nie mamy własności Markowa.

Pozostaje jeszcze wyjasnić w jaki sposób z niezależności od
historii miałaby wynikać ergodyczność rozumiana jako dostępność
wszystkich stanów. Tu mam największy problem, ale intuicyjnie
widze to tak: Skoro mam niezależność od historii, to mam niezależność
od warunku początkowego. Zatem otrzymuję ergodyczność, być może
ograniczoną do powłoki energii (lub innych całek ruchu).

Powyższym rozważaniom niesłychanie daleko jest do ścisłości, ale
ja nie starałem się być scisły, tylko odpowiedzieć na Krzysiowe
pytanie "dlaczego". Otóż, po krótce, dlatego, że o częstotliwości
odwiedzania poszczególnych obszarow przestrzeni fazowej decyduje
dynamika.

[Kazimierz Kurz]

Post by PFG

Post by myszek
Potrafie sobie wyobrazic uklad, ktory przejdzie w poblizu
kazdego stanu, ale sredni czas przebywania we wszystkich obszarach
przestrzeni fazowej nie bedzie taki sam. Dlaczego _musi_ byc?

To jest dobre pytanie i wcale nie wiem, czy częściowa odpowiedź,
którą wymyśliłem, jest poprawna. Na pewno odpowiedzi takiej udzielają
różne książki, ale nie mam teraz czasu szukac.
Pytamy się zatem czy jeśli układ jest ergodyczny, czyli jeśli
wszystkie stany są dostępne z dowolnego stanu początkowego
(tu zastrzeżenia jak poprzednio), to trajektoria musi po dostatecznie
długim czasie odtwarzać gęstość stanów.
To, że tak jest, jest oczywiste dla łańcucha Markowa: Równanie
Chapmana-Kołmogorowa głosi, że do odtworzenia prawdopodobieństwa
wystarcza rozkład początkowy (w naszym wypadku typu delta)
i prawdopodobienstwa przejść pomiędzy stanami ("dynamika").
Mamy teraz nasz układ dynamiczny lub fizyczny. Dzielimy przestrzeń
fazową na bardzo dużo małych, mierzalnych obszarów o takiej samej
hiperobjętości. Gdy trajektoria fazowa jest w którymś z tych obszarów,
możemy, znając dynamikę ("możemy" in principio, w praktyce to
będzie strasznie trudne), znaleźć prawdopodobieństwa przejścia
do wszystkich innych obszarów z naszego podziału. Założenie
o ergodyczności gwarantuje, że nie trafimy na żadną dziurę.
Jeżeli prawdopodobieństwa przejść nie zależą od historii, mamy
łańcuch Markowa, przechodzimy z rozmiarem podziału do zera i viola!
(Tu, nawiasem mówiąc, widać, że zawsze dostaniemy _przeliczalną_
siatkę, więc tylko słabą ergodyczność.)
Jeżeli dynamika jest newtonowska, albo ogólniej, "mechaniczna",
prawdopodobieństwa przejść _nie_ zależą od historii. To jednak nie
jest przypadek ogólny: Jeśli dynamika ma na przykład opóźnienia
czasowe, co, typowo, jest wynikiem rzutowania pełnej dyanmiki
na podprzestrzeń obserwowalnych stopni swobody, oczywiście
nie mamy własności Markowa.
Pozostaje jeszcze wyjasnić w jaki sposób z niezależności od
historii miałaby wynikać ergodyczność rozumiana jako dostępność
wszystkich stanów. Tu mam największy problem, ale intuicyjnie
widze to tak: Skoro mam niezależność od historii, to mam niezależność
od warunku początkowego. Zatem otrzymuję ergodyczność, być może
ograniczoną do powłoki energii (lub innych całek ruchu).

A czy ne mozna tego ztrywializowac i powiedziec tak:
1. dynamika rzadzi hamiltonian ukladu
2. rozpatrujemy rozklad mikrokanoniczny wiec o ustalone wartosci energii czyli
dla naszego ukladu w dowolnym staneis H(s)=E=const
3. skoro H=const na calej dostepnej dla ukladu przestzreni fazowej to skad
mialyby sie wziasc "uprzywilejowane obszary przestrzeni"

?
kazek
PS. w moim odczuciu problemem nei jest "zle latanei trajektorii" ale dwie
zreczy: tw. Liouvilla oraz powroty Poincarego. Skoro uklad zachowuje objetosc
to wynika z tego ze po pewnym czasie musi zaczac zachowywac sie
antyergodycznei ( zbiegac sie do warunkow poczatkowych). ale pzreceiz
termodynamika dotyczy wlasnie pewnego rodaju rzutowania, i mozna na serio
mowic, ze nawet dla ukladow calkiem neiwielkich w ktorych sa duze fluktuacje,
nadal srednia po czasie jest rowna sredniej po zespole tyle ze z wiekszymi
odchyleniami. Dlatego mozna argumentowac, ze nawet dla malych ukladow
ergodycznosc jest spelniona pomimo ze w klasycznej termodynamice potrafimy ja
rozwazac wylacznie w granicy termodynamicznej. Wlasnie J.Gross, o ktorym
pisalem w inym watku, a ktory bedzie wykladal w Warszawie, zaproponowal aby
paradoks Poincarego powrotu obejsc w nastepujacy sposob:
1. przyjac za definicje entropii Ln(W) gdzie W jest liczba stanow ( albo ich
gestoscia) w zespole
2. jako miare objetosci stosowac miare hausdorfa czyli inf miary zbioru ktory
zawiera trajektorie co ma swoje uzasadnienie w tym, ze zawsze wystepuje
skonczona zdolnosc rozdzielcza aparatury pomiarowej i mierzac dwa stany rozne
mikroskopowo nei jestesmy tego w stanei stwioerdzic i bedzeimy uwazac ze jest
to ten sam stan makroskopowy.
Okazuje sie ze w pracy ktora cytowalem w watku Perpetuum Mobile, Gross
wyprowadzil pzy takich zalozeniach rownosc odpowiednich srednich i to bez
granicy termoynamicznej wioec np. dla ukladow 100 cial!! tyle ze mamy rowne
srednie i duze fluktuacje JEDNOCZESNIE.
Ciekawe nie?

[myszek]

Post by PFG
Pytamy się zatem czy jeśli układ jest ergodyczny, czyli jeśli
wszystkie stany są dostępne z dowolnego stanu początkowego
(tu zastrzeżenia jak poprzednio), to trajektoria musi po dostatecznie
długim czasie odtwarzać gęstość stanów.

Po namysle (i wyobrazeniu sobie co oznacza 'odtwarzac gestosc stanow'
:-)) tak.

Post by PFG
To, że tak jest, jest oczywiste dla łańcucha Markowa: Równanie
Chapmana-Kołmogorowa głosi, że do odtworzenia prawdopodobieństwa
wystarcza rozkład początkowy (w naszym wypadku typu delta)
i prawdopodobienstwa przejść pomiędzy stanami ("dynamika").
Mamy teraz nasz układ dynamiczny lub fizyczny. Dzielimy przestrzeń
fazową na bardzo dużo małych, mierzalnych obszarów o takiej samej
hiperobjętości. Gdy trajektoria fazowa jest w którymś z tych obszarów,
możemy, znając dynamikę ("możemy" in principio, w praktyce to
będzie strasznie trudne), znaleźć prawdopodobieństwa przejścia
do wszystkich innych obszarów z naszego podziału. Założenie
o ergodyczności gwarantuje, że nie trafimy na żadną dziurę.

Ale nie gwarantuje ze te prawdopodobienstwa sa jednakowe!
- na razie wiemy tylko ze sa jakas dodatnia (bez miejsc zerowych)
funkcja wspolrzednych w przestrzeni fazowej.

Post by PFG
Jeżeli prawdopodobieństwa przejść nie zależą od historii, mamy
łańcuch Markowa, przechodzimy z rozmiarem podziału do zera i viola!

...w ten sposob moglibysmy 'udowodnic' ze kazda funkcja jest stala.
Chyba czegos bardzo silnie nie rozumiem :-(

pozdrawiam

krzys

[PFG]

Post by myszek

Post by PFG
Jeżeli prawdopodobieństwa przejść nie zależą od historii, mamy
łańcuch Markowa, przechodzimy z rozmiarem podziału do zera i viola!

...w ten sposob moglibysmy 'udowodnic' ze kazda funkcja jest stala.
Chyba czegos bardzo silnie nie rozumiem :-(

A skąd pomysł, że rozkład prawdopodobieństwa generowany przez
łańcuch Markowa jest stały? Pomyśl: dyfuzja, błądzenie przypadkowe, te
rzeczy...

[thrunduil]

Post by Dominik Kozaczko

Czym jest (ogólnie) ergodyczność?

a) nieredukowalny
b) aperiodyczny

brakuje jeszcze zalozenia, ze proces stochastyczny jest harris recurent, co
mniej wiecej oznacza, ze kazdy stan jest odwiedzany nieskonczenie wiele razy
jak t->\infty.

Dokladniej te warunki nie sa definicja ergodycznosci ale warunkami
dostatecznymi na zachodzenie ergodycznosci.
Ergodycznosc lancucha markowa mozna zdefiniowac
\lim n->\infty Pr^n(x,x_0) = pi(x)
dla kazdego x i x_0, gdzie pi okresla dystrybucje stacjonarna procesu
markowa.

czyli niezalzenie od stanu poczatkowego x_0 po dlugim okresie kolejne
realizacje preocesu moga byc traktowane jako niezalezne realizacje rozkladu
pi (pod warunkiem informacji w chwili 0).
wtedy jezeli chcemy wyznaczyc momenty rozkladu pi jako estymator mozemy
wziasc odpowiednie momenty probkowe w oparciu o realizacje procesu markowa.

Ergodycznosc jest w ten sposob uogolnieniem silnego prawa wielkich liczb na
procesy markowa.

Post by Dominik Kozaczko
Aperiodyczność oznacza, że największy wspólny dzielnik okresów stanów
wynosi jeden.

dokładniej stan jest periodyczny jeżeli proces będzie do niego stale wracał
po stalym czasie k>1.
Proces jest aperiodyczny jezeli nie istnieje stan periodyczny.

[Grzegorz Kimbar]

Post by Andrzej Trzebiñski
niestety też niewiele wnosi: "ergodyczność (gr. érgon 'praca, dzieło') fiz.
właściwość przestrzeni powalająca na zastępowanie jej średniej czasowej
średnią fazową funkcji dowolnej wielkości fizycznej ją opisujacej".

To jest dobre, to znaczy dobrze tłumaczy.

Wyobraź sobie jakiś proces i zbiór wszystkich jego realizacji. Wybierasz
sobie jakąś, ustaloną chwilę czasową i wyznaczasz ze wszystkich
realizacji jakiś parametr rozkładu, np. średnią, albo moment.

A teraz bierzesz jedną, ustaloną realizację, ale za to pewien odcinek
czasu (jaki? teoretycznie nieograniczony chyba...) i wyznaczasz ten sam
parametr rozkładu z jednego procesu według czasu. Jeżeli proces jest
ergodyczny to otrzymasz te same wartości.

Pozdrawiam Kimbar